Propiedades
de la esperanza
El valor esperado de una variable
aleatoria E(x) es un parámetro de centralización y su significado es similar al
de la media aritmética de un conjunto de datos. Las propiedades presentadas a
continuación son correctas para las variables continuas y discretas.
Las propiedades del valor esperado son
validas tanto para variables discretas como continuas.
1)
El
valor esperado de una constante es igual a ella misma E(C) = C, siendo C una
constante.
Ejemplo:
Si
la constante es el numero 5, E(5)=5
2)
Si
A y B son variables aleatorio se cumple que:
E(X
+ Y) = E(X) + E(Y)
Esto indica que el valor
esperado de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de sus
valores esperados.
Ejemplo:
X
|
0
|
1
|
2
|
P(X=x)
|
1/8
|
3/8
|
1/8
|
0,125
|
0,375
|
0,125
|
E(x): [(0*0,125) +
(1*0,125) + (2*0,125)]
E(x): [ 0 + 0,125 + 0,25)
E(x): 0,375
Y
|
0
|
1
|
2
|
3
|
P(Y=y)
|
3/4
|
1/4
|
2/4
|
1/4
|
0,75
|
0,25
|
0,5
|
0,25
|
E(y): [(0*0,75) + (1*0,25)
+ (2*0,5) + (3*0,25)]
E(y): [ 0 + 0,25 + 1 +
0,75)
E(y): 2
Entonces E(X+Y)= 0,375 + 2 = 2,375
3)
El
valor esperado del producto de una constante por una variable aleatoria, es
igual al producto de la constante por el valor esperado de la variable:
E(C*X)=C*E(X)
Ejemplo:
Ejemplo:
Dados C= 2 y E(X)= 0,375
E(C.X)=
2. 0,375
E(C.X)=0,75
4)
Si
X es una variable aleatoria e Y es otra variable aleatoria, el valor esperado
del producto de las variables es igual al producto de los valores esperados,
solamente en el caso de que las variables X e Y sean independientes.
E(X.Y)= E(X). E(Y)
Ejemplo. Dado E(X)= 0,375, E(Y)= 2
E(X.Y)= 0,375 * 2
E(X.Y)= 0,75
Propiedades
de la varianza
1) La varianza de una constante es cero,
la varianza mide la dispersión, evidentemente una constante no puede tener
dispersión por lo tanto su varianza es cero.
Var (C) = 0
Ejemplo.
Dado X{3}, E(X)=3 y P(X)=0,375
Hallar la varianza:
Var(X)= (3 – 3 )² * 0,375
Var(X)= 0
2) La varianza del producto de una
constante por una variable, es igual a la constante al cuadrado por la varianza
de la variable.
Var (CX) = C² Var (X)
Ejemplo:
Dado el valor de C= 8
Var(X)= [((0-1,12)² * 0,2) +
((1-1,12)² * 0,04) + ((2 – 1,12)² * 0,04) + ((3 – 1,12)² * 0,1)]
Var(X)= 0,2508 + 0,0005 + 0.0309 +
0,3534
Var(X)= 0,6356
Var(C.X)= 8². 0,6356
Var(C.X)= 64 * 0,6356
Var(C.X)= 40,6784
3)
Si
X e Y son variables aleatorias
cualesquiera:
Var(X+Y)=
Var(X)+Var(Y)
La
varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de las varianzas.
Ejemplo.
Dado Var(X)=
0,3611
- Hallamos
la varianza Y
Var(Y)= [((0
– 0,17)² * 0,9) + ((1 - 0,17)² * 0,06) + ((2 – 0,17)² * 0,02) +((3 – 0,17)² *
0,01)]
Var(Y)=
(0,026 + 0,041 + 0,066 + 0,080)
Var(Y)=0,213
Var(X+Y)=0,3611+0,213
Var(X+Y)=0,5741
Propiedades
de la desviación estándar
Dado
que la varianza tiene sus unidades originales elevadas al cuadrado, se define
la desviación estándar como:
1) La varianza de una constante es cero,
la varianza mide la dispersión, evidentemente una constante no puede tener
dispersión por lo tanto su varianza es cero.
Var (C) = 0
Ejemplo.
Dado
X{3}, E(X)=3 y P(X)=0,375
Hallar la varianza:
Var(X)=
(3 – 3 )² * 0,375
Var(X)=
0
DE (X)= 0
2) La varianza del producto de una
constante por una variable, es igual a la constante al cuadrado por la varianza
de la variable.
Var (CX) = C² Var (X)
Ejemplo:
Dado el valor de C= 8
Var(X)= [((0-1,12)² * 0,2) +
((1-1,12)² * 0,04) + ((2 – 1,12)² * 0,04) + ((3 – 1,12)² * 0,1)]
Var(X)= 0,2508 + 0,0005 + 0.0309 +
0,3534
Var(X)= 0,6356
Var(C.X)= 8². 0,6356
Var(C.X)= 64 * 0,6356
Var(C.X)= 40,6784
DE (X)= 6,3779
3)
Si
X e Y son variables aleatorias
cualesquiera:
Var(X+Y)=
Var(X)+Var(Y)
La
varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de las
varianzas.
Ejemplo.
Dado Var(X)=
0,3611
-
Hallamos
la varianza Y
Var(Y)= [((0
– 0,17)² * 0,9) + ((1 - 0,17)² * 0,06) + ((2 – 0,17)² * 0,02) +((3 – 0,17)² *
0,01)]
Var(Y)=
(0,026 + 0,041 + 0,066 + 0,080)
Var(Y)=0,213
Var(X+Y)=0,3611+0,213
Var(X+Y)=0,5741
DE (X)= 0,7576
Las Distribuciones de Probabilidad en
Ciencias de la Salud
Como es de conocimiento
evidente, la parte de probabilidades en el área de la salud es un tema de
interés, ya que puede servir de base al momento de realizar diagnósticos, toma
de decisiones, en lo que respecta a diversos aspectos como la administración de
tratamientos, uso de equipos o exámenes paraclínicos; entre otros, en el afán
por la búsqueda de realizar diagnósticos acertados o por lo menos tratamientos
que sea lo más idealizados posible al paciente, para curar o mejorar la
condición del paciente, tomando en cuenta que cada organismo es diferente y no
siempre reacciona de la misma manera.
Es aquí donde radica la
importancia que tiene la elaboración de pruebas, experimentos, ensayos entre
otros métodos que sirvan y le proporcionen al personal de salud más pistas,
debido a que generalmente la sintomatología de una enfermedad puede ser similar
a otra o puede variar con síntomas totalmente distintos en pacientes con la
misma condición. Pero no solo enfocándose en diagnóstico de patologías sino que
también es utilizada en prevención y planificación, pues permite hacer una
previsualización de lo que podría pasar. Generalmente se relaciona a
publicaciones demográficas, económicas y sociológicas llevadas a cabo
anteriormente, gran parte de los resultados de la estadística provienen de la
curiosidad de ciertas personas por desarrollar modelos que expresen el
comportamiento de ciertos aspectos de la materia y de los caracteres biológicos
o humanos para la mayoría de los casos. Por ejemplo la medicina, la biología,
la física, la psicología, patología, ortopedia, en fin, casi todos los campos
de las ciencias emplean herramientas estadísticas fundamentales para el
desarrollo de sus patrones de trabajo.
Seguidamente se
presentan ejemplos de algunas distribuciones de probabilidad.
a) Experimento
de Bernoulli
Una persona femenina de 20 años de
edad se realiza una prueba elisa de cuarta generación para diagnosticar si
padece o no del virus de VIH. Considerando el resultado de la prueba positivo
como un fracaso (F) y negativo como un éxito (E).
b) Experimento
Binomial
Se realiza un estudio de aspirado de
médula ósea en 8 pacientes con edades comprendidas entre 10 y 13 años para
diagnosticar la presencia de un cáncer en la sangre. Se considera el resultado
positivo como un fracaso (F) y el resultado negativo como un éxito (E).
c) Distribución
Binomial
Se sabe que el 35% de los pacientes
que asisten a una consulta de oftalmologia poseen miopia. Determinar la
probabilidad de que una muestra aleatoria de 6 personas:
a.- Mas de 5 posean miopia
b.- 1 tenga miopía
X(n=6; p=0,35)
La
probabilidad de que más de 5 pacientes posean miopía es de 0.0367
La
probabilidad de que más de 1 pacientes posean miopía es de 0.2436
d) Distribución
normal estandarizada
El
salario mensual de un médico cardiólogo infantil de la unidad de pediatria en
el IAHULA sigue una distribución normal con μ=9000 Bs y σ=900 Bs. Se pide:
a)
La probabilidad de que el salario mensual de un médico cardiólogo infantil de
la unidad de pediatría en el IAHULA sea superior a 12000 BsF.
b)
La probabilidad de que el salario mensual de un médico cardiólogo infantil de
la unidad de pediatría en el IAHULA sea inferior a 10000 BsF.
Sea
X {salario mensual de un médico cardiólogo infantil de la unidad de pediatría
en el IAHULA}
Z=
(µ=9000; σ=900)
P(Z≥3,33)= 1 - P(Z≤3,33)=
1 – 0,9996= 0,0004
La probabilidad de que el salario
mensual de un médico cardiólogo
infantil de la unidad de pediatría en el IAHULA sea superior a 12000bsf es de
0,0004. Esto indica que es un evento poco probable.
P(Z≤1,11)=0,8665
La probabilidad de que el salario
mensual de un médico cardiólogo
infantil de la unidad de pediatría en el IAHULA sea inferior a 10000bsf es de
0,8665.
Chi-Cuadrado
a.- P(X²≤0,95) con 7 grados de
libertad= 2,17
El valor de la variable X² que deja a
su izquierda, un área de 0,95 0 95% en una distribución con 7 grados de
libertad es de 2,17
b.- P(X²≥0,80) con 10 grados de
libertad= P(X²≤0,20)=13,44
El valor de la variable X² que deja a
su derecha, un área de 0,80 u 80% en una distribución con 10 grados de libertad
es de 13,44
c.- P(0,10≤X²≤ 0,70) con 4 grados de
libertad= 7,78≤ X²≤2,20
El valor de la variable X² que deja a
su izquierda, un área de 0,10 0 10% en una distribución con 4 grados de
libertad es de 7,78; mientras que el valor a la derecha deja un área de 0,70 o
70% es de 2,20.
T-Studens
Dada una variable t de Student con 20 grados
de libertad. Hallar el valor de t que deja un área total de 5% en ambos
extremos.
Usando la tabla α=0,025 se tiene que
t=2,0860 para la cola derecha y debido a la simetría de la distribución de t,
el valor de la cola izquierda es el mismo pero con signo contrario, es decir, t=-2,0860
