Propiedades de la esperanza

El valor esperado de una variable aleatoria E(x) es un parámetro de centralización y su significado es similar al de la media aritmética de un conjunto de datos. Las propiedades presentadas a continuación son correctas para las variables continuas y discretas.

Las propiedades del valor esperado son validas tanto para variables discretas como continuas.

1)    El valor esperado de una constante es igual a ella misma E(C) = C, siendo C una constante.

 Ejemplo:

Si la constante es el numero 5, E(5)=5

2)    Si A y B son variables aleatorio se cumple que:

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Esto indica que el valor esperado de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de sus valores esperados.

Ejemplo:

X	0	1	2
P(X=x)	1/8	3/8	1/8
	0,125	0,375	0,125

E(x): [(0*0,125) + (1*0,125) + (2*0,125)]

E(x): [ 0 + 0,125 + 0,25)

E(x): 0,375

Y	0	1	2	3
P(Y=y)	3/4	1/4	2/4	1/4
	0,75	0,25	0,5	0,25

E(y): [(0*0,75) + (1*0,25) + (2*0,5) + (3*0,25)]

E(y): [ 0 + 0,25 + 1 + 0,75)

E(y): 2

Entonces E(X+Y)=  0,375 + 2 = 2,375

3)    El valor esperado del producto de una constante por una variable aleatoria, es igual al producto de la constante por el valor esperado de la variable:

E(C*X)=C*E(X)

Ejemplo:

Ejemplo: Dados C= 2 y E(X)= 0,375

E(C.X)= 2. 0,375

E(C.X)=0,75

4)    Si X es una variable aleatoria e Y es otra variable aleatoria, el valor esperado del producto de las variables es igual al producto de los valores esperados, solamente en el caso de que las variables X e Y sean independientes.

                                                   E(X.Y)= E(X). E(Y)

Ejemplo. Dado E(X)= 0,375, E(Y)= 2

E(X.Y)= 0,375 * 2

E(X.Y)= 0,75

Propiedades de la varianza

            1)    La varianza de una constante es cero, la varianza mide la dispersión, evidentemente              una constante no puede tener dispersión por lo tanto su varianza es cero.

Var (C) = 0

Ejemplo.

Dado X{3}, E(X)=3 y P(X)=0,375

Hallar la varianza:

Var(X)= (3 – 3 )² * 0,375

Var(X)= 0

            

             2)    La varianza del producto de una constante por una variable, es igual a la constante                al cuadrado por la varianza de la variable.

Var (CX) = C² Var (X)

Ejemplo:

Dado el valor de C= 8

Var(X)= [((0-1,12)² * 0,2) + ((1-1,12)² * 0,04) + ((2 – 1,12)² * 0,04) + ((3 – 1,12)² * 0,1)]

Var(X)= 0,2508 + 0,0005 + 0.0309 + 0,3534

Var(X)= 0,6356

Var(C.X)= 8². 0,6356

Var(C.X)= 64 * 0,6356

Var(C.X)= 40,6784

              3)    Si  X e Y son variables aleatorias cualesquiera:

                                   Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)

La varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de las               varianzas.

   

     Ejemplo.

    Dado Var(X)= 0,3611

-               Hallamos la varianza Y

   Var(Y)= [((0 – 0,17)² * 0,9) + ((1 - 0,17)² * 0,06) + ((2 – 0,17)² * 0,02) +((3 – 0,17)² * 0,01)]

   Var(Y)= (0,026 + 0,041 + 0,066 + 0,080)

   Var(Y)=0,213

   Var(X+Y)=0,3611+0,213

   Var(X+Y)=0,5741

Propiedades de la desviación estándar

Dado que la varianza tiene sus unidades originales elevadas al cuadrado, se define la desviación estándar como:

       1)    La varianza de una constante es cero, la varianza mide la dispersión, evidentemente una constante no puede tener dispersión por lo tanto su varianza es cero.

Var (C) = 0

Ejemplo.

Dado X{3}, E(X)=3 y P(X)=0,375

Hallar la varianza:

Var(X)= (3 – 3 )² * 0,375

Var(X)= 0

    DE (X)= 0

       2)    La varianza del producto de una constante por una variable, es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la variable.

Var (CX) = C² Var (X)

Ejemplo:

Dado el valor de C= 8

Var(X)= [((0-1,12)² * 0,2) + ((1-1,12)² * 0,04) + ((2 – 1,12)² * 0,04) + ((3 – 1,12)² * 0,1)]

Var(X)= 0,2508 + 0,0005 + 0.0309 + 0,3534

Var(X)= 0,6356

Var(C.X)= 8². 0,6356

Var(C.X)= 64 * 0,6356

Var(C.X)= 40,6784

 DE (X)= 6,3779

      3)    Si  X e Y son variables aleatorias cualesquiera:

                                   Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)

La varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de las varianzas.

Ejemplo.

Dado Var(X)= 0,3611

-       Hallamos la varianza Y

Var(Y)= [((0 – 0,17)² * 0,9) + ((1 - 0,17)² * 0,06) + ((2 – 0,17)² * 0,02) +((3 – 0,17)² * 0,01)]

Var(Y)= (0,026 + 0,041 + 0,066 + 0,080)

Var(Y)=0,213

Var(X+Y)=0,3611+0,213

Var(X+Y)=0,5741

 DE (X)= 0,7576

                   Las Distribuciones de Probabilidad en Ciencias de la Salud

Como es de conocimiento evidente, la parte de probabilidades en el área de la salud es un tema de interés, ya que puede servir de base al momento de realizar diagnósticos, toma de decisiones, en lo que respecta a diversos aspectos como la administración de tratamientos, uso de equipos o exámenes paraclínicos; entre otros, en el afán por la búsqueda de realizar diagnósticos acertados o por lo menos tratamientos que sea lo más idealizados posible al paciente, para curar o mejorar la condición del paciente, tomando en cuenta que cada organismo es diferente y no siempre reacciona de la misma manera.

Es aquí donde radica la importancia que tiene la elaboración de pruebas, experimentos, ensayos entre otros métodos que sirvan y le proporcionen al personal de salud más pistas, debido a que generalmente la sintomatología de una enfermedad puede ser similar a otra o puede variar con síntomas totalmente distintos en pacientes con la misma condición. Pero no solo enfocándose en diagnóstico de patologías sino que también es utilizada en prevención y planificación, pues permite hacer una previsualización de lo que podría pasar. Generalmente se relaciona a publicaciones demográficas, económicas y sociológicas llevadas a cabo anteriormente, gran parte de los resultados de la estadística provienen de la curiosidad de ciertas personas por desarrollar modelos que expresen el comportamiento de ciertos aspectos de la materia y de los caracteres biológicos o humanos para la mayoría de los casos. Por ejemplo la medicina, la biología, la física, la psicología, patología, ortopedia, en fin, casi todos los campos de las ciencias emplean herramientas estadísticas fundamentales para el desarrollo de sus patrones de trabajo.

Seguidamente se presentan ejemplos de algunas distribuciones de probabilidad.

           a)    Experimento de Bernoulli

Una persona femenina de 20 años de edad se realiza una prueba elisa de cuarta generación para diagnosticar si padece o no del virus de VIH. Considerando el resultado de la prueba positivo como un fracaso (F) y negativo como un éxito (E).

           b)    Experimento Binomial

Se realiza un estudio de aspirado de médula ósea en 8 pacientes con edades comprendidas entre 10 y 13 años para diagnosticar la presencia de un cáncer en la sangre. Se considera el resultado positivo como un fracaso (F) y el resultado negativo como un éxito (E).

           c)    Distribución Binomial

Se sabe que el 35% de los pacientes que asisten a una consulta de oftalmologia poseen miopia. Determinar la probabilidad de que una muestra aleatoria de 6 personas:

a.- Mas de 5 posean miopia

b.- 1 tenga miopía

X(n=6; p=0,35)

La probabilidad de que más de 5 pacientes posean miopía es de 0.0367

La probabilidad de que más de 1 pacientes posean miopía es de 0.2436

d)    Distribución normal estandarizada

    El salario mensual de un médico cardiólogo infantil de la unidad de pediatria en el IAHULA sigue una distribución normal con μ=9000 Bs y σ=900 Bs. Se pide:

a) La probabilidad de que el salario mensual de un médico cardiólogo infantil de la unidad de pediatría en el IAHULA sea superior a 12000 BsF.

b) La probabilidad de que el salario mensual de un médico cardiólogo infantil de la unidad de pediatría en el IAHULA sea inferior a 10000 BsF.

Sea X {salario mensual de un médico cardiólogo infantil de la unidad de pediatría en el IAHULA}

Z= (µ=9000; σ=900)

P(Z≥3,33)= 1 - P(Z≤3,33)= 1 – 0,9996= 0,0004

La probabilidad de que el salario mensual de un médico cardiólogo infantil de la unidad de pediatría en el IAHULA sea superior a 12000bsf es de 0,0004. Esto indica que es un evento poco probable.

P(Z≤1,11)=0,8665

La probabilidad de que el salario mensual de un médico cardiólogo infantil de la unidad de pediatría en el IAHULA sea inferior a 10000bsf es de 0,8665.

Chi-Cuadrado

a.- P(X²≤0,95) con 7 grados de libertad= 2,17

El valor de la variable X² que deja a su izquierda, un área de 0,95 0 95% en una distribución con 7 grados de libertad es de 2,17

b.- P(X²≥0,80) con 10 grados de libertad= P(X²≤0,20)=13,44

El valor de la variable X² que deja a su derecha, un área de 0,80 u 80% en una distribución con 10 grados de libertad es de 13,44

c.- P(0,10≤X²≤ 0,70) con 4 grados de libertad= 7,78≤ X²≤2,20

El valor de la variable X² que deja a su izquierda, un área de 0,10 0 10% en una distribución con 4 grados de libertad es de 7,78; mientras que el valor a la derecha deja un área de 0,70 o 70% es de 2,20.

T-Studens

Dada una variable t de Student con 20 grados de libertad. Hallar el valor de t que deja un área total de 5% en ambos extremos.

Usando la tabla α=0,025 se tiene que t=2,0860 para la cola derecha y debido a la simetría de la distribución de t, el valor de la cola izquierda es el mismo pero con signo contrario, es decir, t=-2,0860